logo
 

НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА

РУССКИЙ ЯЗЫК

 

ИСТОРИЯ РОССИИ

БИОЛОГИЯ

ГЕОГРАФИЯ

МАТЕМАТИКА

В этой категории - подборка из полсотни задач разного уровня сложности с решением.

1. Условие

В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?

Подсказка

Заметьте, в обоих случаях нам не дано никаких ограничений на форму кусков, определено только их количество.

Решение

Вырежем из круга два одинаковых маленьких кружка, один с центром в отмеченной точке, а другой  — с центром в центре круга (нужно так подобрать их радиусы, чтобы в большом круге эти кружки не пересекались), третий кусок  — то, что осталось от большого круга. Поменяв местами маленькие кружки, получим такой круг, как требовалось в условии.

Ответ

Вырежем из круга два одинаковых маленьких непересекающихся кружка, один с центром в отмеченной точке, а другой  — с центром в центре круга. Поменяв местами маленькие кружки, получим такой круг, как требовалось в условии.

 

 

2. Условие

Верно ли, что любой треугольник можно разбить на четыре равнобедренных треугольника?

Решение

Проведём высоту к наибольшей стороне треугольника. Она разобьёт треугольник на два прямоугольных треугольника. В этих прямоугольных треугольниках проведём медианы к гипотенузам. Они разобьют каждый прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника.

Ответ

Верно.

 

 

3.Условие

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

Подсказка

Круги должны быть маленькими, но их должно быть очень много.

Решение

Разрежем квадрат на 1002 квадратиков со стороной 1мм. В каждый из этих квадратиков впишем круг и вырежем все такие круги. Сумма диаметров всех кругов будет равна 1002 мм = 10 м.

Ответ

можно.

 

 

 
4. Условие

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

Подсказка

Помните ли Вы, что если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, проходящая через него, делит эту фигуру на две равные части?

Решение

Если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, проходящая через него, делит эту фигуру на две равные части. Поэтому для того, чтобы одновременно разрезать и торт, и шоколадку на две равные части, надо провести прямую через центр торта и центр шоколадки.

 

 

5. Условие

Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось составить некоторый прямоугольник из нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Можно ли ему верить? (Среди подобных треугольников могут быть и равные.)

Решение

На рисунке прямоугольник разбит на равнобедренные треугольники с углом 120° при вершине.


Ответ

Можно.

 

 


6. Условие

Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря – два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому, и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?

Решение

Саша может разрезать одной прямой свой треугольник на два, равных Бориным. При этом один из концов разреза расположен в вершине Сашиного треугольника, а другой – на противоположной стороне.
Посмотрим на сторону, которую пересёк разрез. Разрез не перпендикулярен этой стороне (иначе получится два прямоугольных треугольника, что противоречит условию). Значит, получится один тупоугольный треугольник и один остроугольный или прямоугольный.
В первом случае Сашин треугольник – прямоугольный. Пример приведён на рисунке.

 


Во втором случае в Сашином треугольнике будет прямой или тупой угол, что противоречит условию.

Ответ

Прямоугольный.

 

 

7. Условие

В круге отметили точку. Разрежьте круг на  а) три;  б) две части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре.

Решение

a) Нужно вырезать из круга два маленьких равных кружка – один с центром в центре круга, а другой с центром в отмеченной точке, и затем поменять эти кружки местами.

б) Линия разреза – дуга того же радиуса, что и у данного круга, с центром в отмеченной точке.

 

 

8. Условие

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников?

Подсказка

Оцените сумму углов, больших 1800, через сумму углов, меньших 1800.

Решение

Предположим противное - некоторый выпуклый многоугольник разбит на n невыпуклых четырехугольников. В каждом четырехугольнике есть угол, больший 1800, будем называть такие углы большими, а остальные углы - маленькими. Пусть сумма больших углов всех четырехугольников равна S. Поскольку сумма углов четырехугольника равна 3600, сумма маленьких углов всех четырехугольников равна (360n-S)0. В разбиении выпуклого многоугольника на невыпуклые четырехугольники к вершине каждого большого угла некоторого четырехугольника примыкают несколько маленьких углов других четырехугольников, дополняющих данный большой угол до 3600. Таким образом, сумма всех маленьких углов, вершины которых совпадают с вершиной некоторого большого угла, равна (360n-S)0. Но кроме этих маленьких углов есть маленькие углы с вершинами в вершинах выпуклого многоугольника. Отсюда делаем вывод, что сумма всех маленьких углов больше (360n-S)0, что противоречит доказанному ранее.

Ответ

нельзя.

 

 

9. Условие

В клетчатом квадрате 64*64 вырезали одну из клеток. Докажите, что оставшуюся часть квадрата можно разрезать на уголки из трех клеток.

Подсказка

Доказывайте общее утверждение для квадрата 2n*2n клеток.

Решение

Будем доказывать общее утверждение для квадрата 2n*2n клеток с вырезанной клеткой. Для n=1 это утверждение очевидно: если из квадрата 2*2 вырезана одна клетка,то оставшаяся часть квадрата - это уголок из трех клеток. Пусть это утверждение верно для квадрата 2n-1*2n-1 клеток с вырезанной клеткой. Итак, пусть в квадрате 2n*2n клеток вырезана одна из клеток. Разрежем этот квадрат на 4 квадрата 2n-1*2n-1 клеток. Вырезанная клетка попала в один из этих четырех квадратов. Из остальных трех квадратов можно вырезать по одной угловой клетке так, чтобы они образовывали уголок из трех клеток (см. картинку). Вырежем этот уголок. Оставшаяся часть представляет собой четыре квадрата 2n-1*2n-1 клеток, в каждом их которых вырезано по клетке. По предположению индукции каждый из этих квадратов можно разрезать на уголки. Тем самым, и квадрат 2n*2n клеток с вырезанной клеткой можно разрезать на уголки.

 

 

10. Условие

Докажите, что никакой выпуклый многоугольник нельзя разрезать на 100 различных правильных треугольников.

Подсказка

Предположите противное и рассмотрите наименьший треугольник, примыкающий к границе многоугольника.

Решение

Предположим, что выпуклый многоугольник разбит на 100 различных правильных треугольников. Рассмотрим наименьший из всех треугольников, примыкающих к границе многоугольника. Пусть это треугольник ABC, у которого сторона AB примыкает к границе многоугольника. Поскольку многоугольник выпуклый, то он весь лежит по одну сторону с точкой C от прямой AB. К одной из сторон AC, BC треугольника ABC должен примыкать еще хотя бы один треугольник (иначе многоугольник совпадал бы с треугольником ABC). Пусть, например, к стороне AC примыкает ещё один треугольник T. Тогда сторона треугольника T больше стороны треугольниика ABC, и поэтому его сторона, примыкающая к AC, продолжается за точку C. Если бы существовал треугольник, примыкающий к стороне BC треугольника ABC, то мы таким же образом заключили бы, что его сторона, примыкающая к BC, продолжается за точку C. Тем самым этот треугольник пересекался бы с треугольником T. Противоречие. Значит, нет треугольника, примыкающего к стороне BC треугольника ABC. Но это означает, что точка C является вершиной угла многоугольника, большего 180°. Противоречие с выпуклостью многоугольника.

 

 

11. Условие

Разрежьте фигуру, изображенную на рис. на 4 равные части.

 


Решение

Требуемые разрезы изображены на рис.

 

 

 

12. Условие

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.

Решение

Если квадрат допускает разбиение на n квадратов, то он допускает разбиение и на n + 3 квадрата (достаточно один из квадратов разрезать на четыре). Разобьем все натуральные числа на три арифметические прогрессии n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2, и в каждой из них найдем минимальное n, для которого задача имеет решение. В первой прогрессии минимальное такое n равно 6, во второй — 4, в третьей — 8. (Требуемые разбиения строятся из квадратов 3×3, 2×2 и 5×5.

 

 

13. Условие

У бабушки была клетчатая тряпочка (см. рисунок). Однажды она захотела сшить из неё подстилку коту в виде квадрата размером 5×5. Бабушка разрезала тряпочку на три части и сшила из них квадратный коврик, также раскрашенный в шахматном порядке. Покажите, как она могла это сделать (у тряпочки одна сторона – лицевая, а другая – изнаночная, то есть части можно поворачивать, но нельзя переворачивать).

 


Решение

Это можно сделать несколькими способами – см. рис.

 


 

 

 

14. Условие

Мальвина велела Буратино разрезать квадрат на 7 прямоугольников (необязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой. Выполнимо ли это задание?

Решение

На рис. показаны два примера: для клетчатых квадратов со сторонами 6 и 8 клеток соответственно.

 


Ответ

Выполнимо.

Замечания

Существует много других примеров.

 

 

15. Условие

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

Решение

Разрежем квадрат на три "узких" прямоугольника (1×1, 2×1 и 4×1), три "средних" (1×2, 2×2 и 4×2) и три "широких" (1×4, 2×4 и 4×4).
Из "узких" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 1. Аналогично из "средних" прямоугольников можно сложить прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 2, а из "широких" – прямоугольник любой высоты от 1 до 7 и ширины 4. Из полученных "узкого", "среднего" и "широкого" прямоугольников нужной высоты можно сложить прямоугольник этой высоты и любой ширины от 1 до 7.

Ответ

Cм. рис.

 


 

Замечания

1. Решение основано на том, что из первых n степеней двойки (начиная с  20 = 1)  можно составить любую сумму от 1 до  2n – 1 включительно. На этом факте основана двоичная система счисления. В данном случае  n = 3.

2. Желающие могут подумать:
а) существуют ли 25 клетчатых прямоугольников, из которых можно составить любой клетчатый прямоугольник со сторонами, не превосходящими 31;  

б) существуют ли 100 прямоугольников, из которых можно составить любой клетчатый прямоугольник со сторонами, не превосходящими 1000?

 

 

16. Условие

Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?

Подсказка

В качестве примера можно взять прямоугольный треугольник, в котором катеты относятся как 1:2.

Решение

Примером является прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=1 и BC=2. Укажем нужное разбиение этого треугольника. Проведем высоту CH из вершины C прямого угла. Треугольник ABC при этом разбивается на 2 подобных треугольника ACH и BCH. Коэффициент подобия этих треугольников равен AC/BC=1/2. Далее, треугольник BCH можно разбить средними линиями на 4 равных треугольника, каждый из которых подобен треугольнику BCH с коэффициентом подобия 1/2. В итоге треугольник ABC оказался разбитым на 5 треугольников, равных треугольнику ACH.

 

 

17. Условие

На какое минимальное число равновеликих треугольников можно разрезать квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой?

Подсказка

Рассмотрите треугольники, примыкающие к вырезанной клетке и оцените площадь одного из них.

Решение

Пусть квадрат 8*8 с вырезанной угловой клеткой (его площадь равна 63) разрезан на n треугольников, каждый из которых имеет площадь 63/n. Обозначим через A, B, C вершины вырезанной клетки. Рассмотрим треугольники, содержащие точку B. Нетрудно видеть, что таких треугольников по крайней мере два - у одного из них одна из сторон (назовем эту сторону a) соприкасается с отрезком AB, а у другого - из сторон (назовем эту сторону с) соприкасается с отрезком BC. Заметим, что одновременно не может сторона a выходить за пределы отрезка AB и сторона с выходить за пределы отрезка BС, так как в противном случае треугольники имели бы пересечение. Пусть, для определенности, сторона a не выходит за пределы отрезка AB. Тогда в треугольнике со стороной a длина стороны а не превосходит 1, а длина высоты, опущенной на сторону а, не превосходит 7 (иначе треугольник вышел бы за пределы квадрата). Таким образом, площадь этого треугольника не больше 7/2. Итак, 63/n не превосходит 7/2, откуда n не меньше 18. Пример разрезания на 18 равновеликих (и даже равных) треугольников показан на картинке.

Ответ

18.00

 

 

18. Условие

На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить куб?

Подсказка

Оценивайте объемы тетраэдров.

Решение

Пример. Куб ABCDA'B'C'D' можно разбить на пять тетраэдров: AA'B'D', AB'BC, ACDD', B'C'D'C и ACB'D'.
Оценка. Пусть куб разбит на несколько тетраэдров. Основания хотя бы двух из них лежат на грани ABCD. Также имеются другие два тетраэдра с основаниями на грани A'B'C'D' (у одного тетраэдра нет двух параллельных граней). Если ребро куба равно 1, то суммарный объем первых (вторых) двух тетраэдров не больше
. Поскольку суммарный объем этих четырёх тетраэдров меньше 1, то в разбиении куба кроме них участвует ещё хотя бы один тетраэдр.

Ответ

На 5 тетраэдров.

 

 

19. Условие

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на остроугольные треугольники.

Подсказка

Научитесь разрезать на остроугольные треугольники прямоугольный треугольник.

Решение

Любой выпуклый многоугольник можно разрезать диагоналями на треугольники. Каждый тупоугольный треугольник можно разрезать высотой, проведенной к наибольшей стороне, на два прямоугольных треугольника. Поэтому достаточно научиться разрезать на остроугольные треугольники любой прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике ABC (C - прямой угол) на медиане CM достаточно близко к точке M выберем точку F. Через F проведем прямые, "почти параллельные" прямым AC и BC так, что они отрезают остроугольный треугольник FDE. Теперь осталось разрезать на остроугольные треугольники каждую из "почти трапеций" ACFD, BCFE (см. картинку).

 

 

20. Условие

Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.

Решение

Пусть отрезок MN, где точки M и N лежат на сторонах AB и CD, разрезает четырёхугольник ABCD на два подобных четырёхугольника. Тогда угол AMN четырёхугольника AMND равен одному из углов четырёхугольника NMBC. С другой стороны,  NMB = 180° – AMN.  Поэтому если
AMN = NMB,  то  NMB = 90°,  а если угол AMN равен другому углу четырёхугольника NMBC, то в этом четырёхугольнике есть два угла, составляющих в сумме 180°. Проведя аналогичные рассуждения для угла MND, получаем, что либо  AB MN  и CD MN  (и тогда
AB || CD),  либо в четырёхугольнике NMBC есть два угла, составляющие в сумме 180°; без ограничения общности можно считать, что один из них – угол BMN. Рассмотрим три случая.
  1)  
BMN + MNC = 180°.  Тогда  BM || CN, а значит, и  AB || CD.
  2)  
BMN + MBC = 180°.   Тогда  MN || BC. Поэтому либо  AD || MN,  либо  ND || MA.
  3)  
BMN + BCN = 180°.  Тогда четырёхугольники NMBC и AMND вписанные. Следовательно,
BCN = 180° – BMN  и  ADN = 180° – AMN = BMN,  то есть  BC || AD.

 

 

21. Условие

Циркулем и линейкой разбейте данный треугольник на два меньших треугольника с одинаковой суммой квадратов сторон.

Решение

Пусть B и C – острые углы треугольника, тогда высота AH попадёт на сторону BC, а не на её продолжение. Построим на BC такую точку D, что  BD = CH.  Тогда и  CD = BH  (см. рис.).

 


 

Треугольники ABD и ACD – искомые. Действительно, по теореме Пифагора  AH² = AB² – BH² = AC² – CH²,  поэтому  AB² + CH² = AC² + BH²,  откуда
AB² + BD² = AC² + CD².  Добавив к обеим частям последнего равенства слагаемое AD², получим равенство сумм квадратов сторон для указанных треугольников.

 

 

22. Условие

Квадрат разрезали на двенадцать прямоугольных треугольников.
Могут ли десять из них оказаться равными друг другу, а два оставшихся – отличаться и от них, и друг от друга?

Решение

См. рисунок.

 


Ответ

Могут.

 

 

23. Условие

Вписанный n-угольник  (n > 3)  разбит непересекающимися (во внутренних точках) диагоналями на треугольники. Каждый из получившихся треугольников подобен хотя бы одному из остальных. При каких n возможна описанная ситуация?

Решение

При чётном n можно разрезать правильный n-угольник на два равных многоугольника диагональю, проходящей через его центр, а потом разрезать эти два многоугольника одинаковым образом. Кроме того, можно на трёх сторонах правильного 2k-угольника построить равные треугольники с вершинами на описанной окружности. Поэтому при нечётном  n > 5  искомая ситуация тоже возможна. Осталось доказать, что она невозможна при  n = 5.
Если центр описанной около пятиугольника окружности не лежит ни на одной из проведённых диагоналей, то треугольник, содержащий его, – остроугольный, а остальные – тупоугольные, то есть описанная ситуация не может иметь места. Если же центр лежит на диагонали, то два треугольника, примыкающие к этой диагонали, – прямоугольные, а третий – тупоугольный. Следовательно, указанная ситуация также невозможна.

Ответ

При  n = 4  и при  n > 5.

 

 

24. Условие

Из одинакового количества квадратов со сторонами 1, 2 и 3 составьте квадрат наименьшего возможного размера.

Решение

Оценка. Пусть искомый квадрат составлен из n квадратов каждого вида. Тогда его площадь равна  n·(1² + 2² + 3²) = 14n = 2·7·n.  Так как длина стороны искомого квадрата должна быть целой, то полученное число должно являться точным квадратом. Значит, число n должно содержать множители 2 и 7, то есть  n ≥ 14.

Пример. См. рисунок, на котором использовано по 14 квадратов каждого вида.

 


 

 

25. Условие

Можно ли разбить клетчатую доску 12×12 на уголки из трёх соседних клеток так, чтобы каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд клеток доски пересекал одно и то же количество уголков? (Ряд пересекает уголок, если содержит хотя бы одну его клетку).

Решение

Предположим, что такое разбиение нашлось. Рассмотрим первую и вторую снизу горизонтали доски; обозначим их H1 и H2. Каждый уголок на доске пересекается с двумя соседними горизонталями. Значит, если уголок пересекается с H1, то он пересекается и с H2. Теперь, если горизонталь H2 пересекает какой-то уголок, не пересекающийся с H1, то она пересекает больше уголков, чем H1, что невозможно. Итак, все уголки, пересекающиеся с первой или второй горизонталями, не выходят за их пределы и образуют вместе горизонтальную полосу H размера 2×12.
Аналогично все уголки, пересекающиеся с первой или второй слева вертикалями V1 и V2, образуют вместе вертикальную полосу V размера 12×2. В таком случае все уголки, пересекающиеся с левым нижним квадратом 2×2, должны лежать как в H, так и в V, то есть должны лежать в этом квадрате. Но тогда квадрат 2×2 должен разбиться на трёхклеточные уголки, что невозможно. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

 

 

26. Условие

Вася называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1, почти-квадратом. (Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат.) Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2010 почти-квадратов?

Решение

Заметим, что доминошка 2×1 – это простейший почти-квадрат. Возьмём почти-квадрат 2009× 2008, приставим к нему справа полоску из 1004 доминошек, а потом сверху – полоску из 1005 доминошек. Получится почти-квадрат, разбитый на 2010 почти-квадратов.

Ответ

Cуществует.

 

 

27.Условие

Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.

Решение

У многоугольников разбиения площадь равна 5. При этом сумма их периметров равна  40 + 2·80 = 200,  значит, средний периметр – 10. Поэтому достаточно доказать, что существует единственный пятиклеточный многоугольник с периметром не больше 10.

 

Первый способ. Периметр такого многоугольника равен сумме периметров пяти клеток минус удвоенное количество общих границ, соединяющих клетки. Значит, на пять клеток приходится не менее пяти соединений. Поэтому найдётся цикл из клеток многоугольника. Но тогда он содержит квадрат 2×2, любое добавление клетки к которому даст один и тот же многоугольник периметра 10.

 

Второй способ. По формуле Пика площадь многоугольника с вершинами в узлах клетчатой доски равна  a + b/2 – 1,  где a – количество узлов внутри многоугольника, а b – на его границе. В нашем случае b равно периметру. Подставляя данные в формулу, получим  a ≥ 1.  Значит, наш многоугольник содержит квадрат 2×2 с центром во внутреннем узле.

 

 

28. Условие

Дано простое число p. Назовём треугольник разрешённым, если все его углы имеют вид  m/p·180°,  где m – целое. Одинаковыми будем считать разрешённые треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешённый треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешённых так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были разными. Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешённые треугольники.

Решение

Будем обозначать треугольник с углами α, β, γ как  T(α, β, γ)  или просто  T(α, β).  Рассмотрим любой момент. Разделим все разрешённые треугольники на присутствующие (имеющиеся к этому моменту) и отсутствующие, углы присутствующих треугольников тоже назовём присутствущими. Покажем, что если какой-нибудь треугольник отсутствует, допустимое разрезание найдётся. Разберём три случая.
  1) Наименьший присутствующий угол α больше  δ = 180°/p.  Разрежем соответствующий треугольник, разбив угол α на углы δ и  α – δ.  Полученные треугольники содержат углы, меньшие α, поэтому раньше они отсутствовали. Заметим, что эти треугольники не одинаковы: такое возможно, лишь когда мы режем  T(2δ, mδ, mδ),  но тогда  δ = 180° = (2 + 2m)δ,  что противоречит простоте p.
  2) Угол δ присутствует, но  T(δ, δ)  отсутствует. Выберем среди присутствующих треугольников вида  T(δ, α, β)  треугольник с наименьшим углом
α ≥ 2δ  и разрежем его по углу α на  T(δ, α – δ)  и  (δ, β).  Первый из этих треугольников отсутствовал (по выбору α), а второй подобен разрезанному.
  3)  T(δ, δ)  присутствует. Пусть α – наименьший из углов отсутствующих треугольников. Рассмотрим все отсутствующие треугольники с углом α, отметим в них по одному углу α, а остальные углы в них назовём добавочными (они тоже могут быть равны α). Выберем среди добавочных угол β – наибольший из кратных α (если такие есть) или просто наибольший (если кратных α нет). Докажем, что треугольник  T(α, α + β)  возможен и присутствует. Действительно, угла  α + β  среди добавочных нет (иначе его бы выбрали вместо β). Осталось проверить неравенство
180° – α – (α + β) > 0.  Для этого рассмотрим третий угол  γ = 180° – (α + β)  в отсутствующем треугольнике  T(α, β).  γ ≥ α  (по выбору α). Допустим,
γ = α.  Но он – добавочный, значит, среди добавочных есть углы, кратные α. Но тогда и β кратен α (по выбору β), и  180° = pδ  кратно  α = mδ,  то есть p кратно m. Значит,  m = 1  и  α = δ.  Но тогда треугольник  T(α, β) = T(α, γ) = T(δ, δ)  присутствует. Противоречие. Итак,  γ > α,  то есть
180° – α – (α + β) = γ – α > 0.
  Разрезав в присутствующем треугольнике  T(α, α + β, γ – α)  угол  α + β  на части α и β, можно получить отсутствовавший треугольник  T(α, β)  и треугольник  T(α, γ – α),  подобный разрезанному.
Итак, во всех трёх случаях допустимое разрезание нашлось.

 

 

29. Условие

Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.

Решение

Пусть всего получилось n. треугольников. Тогда катетов – 2n, гипотенуз – n. Пусть m из этих n гипотенуз лежат на границе прямоугольника, тогда внутри него лежат   n – m  гипотенуз и столько же катетов, а на сторонах –  n + m  катетов. Следовательно, на границе лежат  m + (n + m) = 2m + n  вершин (четыре из которых – вершины прямоугольника).
Пусть k вершин треугольников лежат строго внутри прямоугольника; тогда сумма углов всех треугольников равна
180°n = 360°k + 180°(n + 2m – 4) + 90°·4.  Отсюда  k + m = 1.
m > 0,  так как максимальная гипотенуза лежит на границе. Значит,  k = 0,  m = 1,  поэтому наибольшая гипотенуза и соответствующая вершина прямого угла лежат на противоположных сторонах прямоугольника. Осталось заметить, что высота прямоугольного треугольника не больше половины гипотенузы.

 

 

30. Условие

Можно ли разбить какую-нибудь призму на непересекающиеся пирамиды, у каждой из которых основание лежит на одном из оснований призмы, а противоположная вершина – на другом основании призмы?

Решение 1

Рассмотрим центральное сечение призмы. Каждая разрешённая пирамида пересекает его по многоугольнику, площадь которого в 4 раза меньше площади её основания. Сумма площадей оснований таких пирамид должна быть равна двум основаниям призмы. Но тогда сумма площадей пересечений с центральным сечением равна половине основания призмы. Значит, даже центральное сечение не заполняется целиком.

 

Решение 2

Сумма объёмов пирамид, вершины которых находятся на верхнем основании призмы, не превосходит одной трети объёма призмы. То же верно для пирамид с вершиной на нижнем основании. Таким образом, сумма объёмов пирамид меньше объёма призмы.

Ответ

Нельзя.

 

 

31. Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что его можно разрезать на два равных треугольника.

Решение

Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Если, например, угол AOB тупой, то он больше любого из углов треугольника BOC, то есть треугольники AOB и BOC не могут быть подобны. Следовательно, диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Из подобия прямоугольных треугольников AOB и BOC следует, что угол OAB равен либо углу OCB, либо углу OBC. В первом случае диагональ BD является серединным перпендикуляром к AC, то есть осью симметрии четырёхугольника и, значит, разрезает его на два равных треугольника. Во втором случае угол B прямой.
Рассуждая аналогично, получаем, что если ни одна из диагоналей не является осью симметрии четырёхугольника, то все его углы прямые, а так как диагонали перпендикулярны, то четырёхугольник – квадрат. Но диагональ квадрата является его осью симметрии. Противоречие.

 

 

32. Условие

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
  а) равными наибольшими сторонами?
  б) равными наименьшими сторонами?

Решение

  а) Каждой точке X границы многоугольника соответствует "противоположная" точка X': эти две точки разбивают периметр многоугольника пополам. Следовательно, точкой X однозначно определяются прямая разбиения XX' и два многоугольника равных периметров – правый RX (справа от луча XX') и левый LX. То, что получаются именно многоугольники, следует из выпуклости и неравенства многоугольника.
Занумеруем стороны многоугольника. Для каждой точки X границы пусть di(X) – длина куска i-й стороны, входящего в RX (если вся сторона попала в RX, то  di(X) = 0);  d0(X) – длина отрезка XX'. Очевидно, все функции  d0(X), d1(X), d2(X), ...  непрерывны. Но тогда непрерывна и функция  
dR(X) = max {d0(X), d1(X), d2(X), ...},  а это как раз длина наибольшей стороны многоугольника RX.
Аналогично непрерывна функция dL(X) – длина наибольшей стороны многоугольника LX. Непрерывная функция  dR(X) – dL(X)  в точках A и A';  принимает противоположные значения. Поэтому найдётся точка X, в которой  dR(X) – dL(X) = 0,  что и требовалось.

  б) Покажем, что это нельзя сделать для треугольника ABC с длинами сторон 9, 10, 11. Его полупериметр равен 15, а площадь (по формуле Герона) равна   https://www.problems.ru/show_document.php?id=1711748" />  Значит, наименьшая из высот этого треугольника больше 7.
Пусть разрез проходит через одну из вершин. Тогда длина разреза больше 7, а отрезки, на которые он делит противоположную сторону не больше
15 – 9 = 6.  Значит, они и являются наименьшими сторонами двух полученных треугольников. Но эти отрезки, очевидно, не равны.
Пусть разрез XX' не проходит через вершину. Тогда в получившемся четырёхугольнике наименьшая сторона (пусть AX) не превосходит  (15 – 9) : 2 = 3.  Рассмотрим стороны получившегося треугольника, лежащие на сторонах исходного. Меньшая из них больше  15 – 11 = 4.  Длина разреза
XX' > AX' – AX > 7 – 3 = 4.  Итак, наименьшая сторона четырёхугольника меньше наименьшей стороны треугольника.

Ответ

а) Верно;  б) неверно.

 

 

33. Условие

Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.

Решение 1

Предположим, что N-угольник разрезан на несколько многоугольников (будем их называть малыми) так, что никакие четыре последовательные вершины не принадлежат одному многоугольнику. Тогда по меньшей мере каждый второй угол N-угольника разрезан одной из линий деления. Поэтому к каждым двум последовательным углам N-угольника прилегает не менее трёх углов малых многоугольников, и следовательно, среднее арифметическое этих прилегающих углов меньше 120°. Среднее арифметическое углов, прилегающих к каждой вершине внутри N-угольника, не больше 120° (равенство будет, только если в вершине сходится ровно три угла). Если же вершина одного малого многоугольника находится на стороне другого (малого или исходного) многоугольника, то среднее значение углов в этой вершине не превышает даже 90°. Отсюда следует, что и в целом среднее значение углов малых многоугольников меньше 120°. Но тогда они не могут все быть семиугольниками.

 

Решение 2

Предположим, что существует разбиение, в котором никакие три идущие подряд стороны многоугольника не принадлежат одному семиугольнику.
Натянем наш многоугольник на верхнюю полусферу так, чтобы контур многоугольника лежал на экваторе, построим симметричную ей относительно экваториальной плоскости карту на нижней полусфере, а затем все стороны, лежащие на экваторе, сотрём. В результате мы получили карту, в которой все страны имеют не менее 6 рёбер. Тогда  Р ≥ 3Г  (Γ – число стран, Р – число рёбер, В – число вершин). Так как в каждой вершине сходится не менее трёх рёбер, то  Р ≥ 3/2 В.  Следовательно,  B – P + Γ ≤ 2/3 Р – Р + 1/3 Р = 0,  что противоречит формуле Эйлера.

Замечания

Как видно из решения 2, условие "каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников" несущественно. Решение 1 использует это условие, но можно обойтись и без него, более аккуратно вычисляя среднее значение углов малых многоугольников.

 

 

34. Условие

Дан бумажный круг. Можно ли с помощью ножниц разрезать его на несколько частей, из которых складывается квадрат той же площади? (Резать разрешается по прямым и дугам окружностей).

Решение

Допустим, что это можно сделать. Тогда край каждого кусочка состоит из отрезков и дуг окружностей. Для каждой дуги определим её "угловую меру", равную отношению длины этой дуги к радиусу, причём взятому с положительным знаком, если радиус-вектор, проведённый из центра окружности, торчит "внутрь" нашего бумажного кружочка, и с отрицательным, если он торчит во внешнюю сторону.
Теперь поставим в соответствие каждому кусочку сумму угловых мер его дуг. Нетрудно видеть, что если мы "состыкуем" вместе два кусочка A и B, то сумма угловых мер кусочка A + B равна (сумма угловых мер кусочка A) + (сумма угловых мер кусочка B). Это происходит оттого, что если две дуги склеиваются, то сумма их угловых мер равна 0.
Отсюда мы получаем, что сумма угловых мер дуг на границе круга должна совпадать с суммой угловых мер дуг на границе квадрата. Но это не так: для круга это число равно 2π, а для квадрата — 0.

Ответ

Нет, нельзя.

 

 

35.Условие

Пусть A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B.
Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.

Решение

Прямоугольники, равные A, назовём кирпичами. Пусть у A размеры  a1×a2,  а у B –  b1×b2.  Пусть P – сложенный из кирпичей прямоугольник, подобный B. Тогда его размеры  (pa1 + qa2) ×(ra1 + sa2),  где p, q, r, s – некоторые целые числа.
Предположим сначала, что отношение сторон кирпича рационально. Тогда и отношение сторон прямоугольника P (а, значит, и подобного ему прямоугольника B) тоже рационально. Но тогда из прямоугольников, равных B, можно сложить квадрат, а из таких квадратов – прямоугольник, подобный A.
Пусть теперь отношение a1/a2 сторон кирпича иррационально.
Заметим, что если какое-то число представимо в виде  za1 + ta2,  где z и t – целые числа, то числа z и t определяются однозначно (если za1 + ta2 = Za1 + Ta2,  то  (z – Z)a1 = (t – T)a2,  и при  z ≠ Z  отношение a1/a2 будет рациональным, что противоречит предположению).
Можно считать, что к левому нижнему углу примыкает горизонтальный кирпич (ширины а1). Продолжим правую сторону кирпича до отрезка максимальной длины, идущего по сторонам кирпичей. К нему примыкает (ввиду единственности представления длины) поровну горизонтальных кирпичей слева и справа. Слева такой кирпич есть, значит справа – тоже (пока мы не утверждаем, что он примыкает к нижней стороне прямоугольника, хотя из дальнейшего это будет следовать). Продолжим до максимального отрезка правую сторону этого горизонтального кирпича, найдём примыкающий к этому отрезку справа горизонтальный кирпич, и т. д., пока не дойдём до правой стороны Р. Значит, горизонтальная сторона Р кратна а1. Аналогично вертикальная сторона кратна а2.
Но тогда отношение b1/b2 сторон прямоугольника B равно za1/ta2, где z и t – целые. Следовательно,  tb1/zb2 = a1/a2,  и мы сможем получить прямоугольник, подобный A, расположив равные B прямоугольники горизонтально (ширины b1) в z рядов по t штук в ряду.

 

 

36. Условие

В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Решение

Данное решение предполагает, что точкам не разрешается лежать на границе квадрата и на границах треугольников. Если же предполагать, что могут, то решение останется тем же, за исключением случая K = 1.

Нам потребуется следующая лемма:

Лемма. Пусть в треугольнике ABC расположено k > 0 точек. Тогда треугольник можно разбить на k треугольников так, чтобы в каждом из них находилось ровно по одной точке.

Доказательство леммы. Докажем эту лемму индукцией по k. База k = 1 очевидна: единственным треугольником разбиения будет исходный треугольник. Пусть теперь для всех k < K утверждение верно. Докажем его для k = K. Переобозначив при необходимости вершины треугольника ABC, можно считать, что не все отмеченные точки лежат на прямой, проходящей через вершину A. Тогда через вершину A можно провести прямую l такую, что по каждую сторону от этой прямой есть хотя бы одна отмеченная точка, а на самой прямой ни одной отмеченной точки нет. Эта прямая разбивает треугольник ABC на два треугольника, в каждом из которых лежит не более K - 1 точки. А значит, по предположению индукции каждый этих треугольников можно разбить на треугольники, в каждом из которых будет находиться ровно по одной точке. Суммарное разбиение этих двух треугольников дает разбиение исходного треугольника на K треугольников, удовлетворяющих условию леммы. Утверждение доказано.

Заметим, что если есть всего одна точка, причём расположенная в центре квадрата, то треугольников не менее трех. Если же она расположена не в центре квадрата, то хотя бы одна из двух диагоналей дает искомое разбиение. Докажем, что при K > 1 квадрат можно разбить на K + 1 треугольник. Для этого заметим, что найдётся хотя бы одна из вершин квадрата, для которой не все точки лежат на прямой, проходящей через неё. Пусть это вершина A квадрата ABCD. Тогда существует точка P, лежащая на стороне BC, для которой ни одна из данных в задаче точек не лежит на отрезках AP и DP, а также не все данные точки лежат в одном из треугольников ABP, APD и DCP. Но тогда, применив лемму к каждому из этих треугольников, получим, что существует разбиение на K + 1 треугольник, удовлетворяющее условию задачи.

Теперь докажем, что меньшего числа треугольников не всегда достаточно. Пусть O — центр данного квадрата ABCD. Расположим K точек на интервале BO. Предположим, что существует разбиение квадрата на K треугольников, удовлетворяющее условию задачи. Тогда в каждом треугольнике лежит ровно одна отмеченная точка и каждая отмеченная точка лежит ровно в одном треугольнике (то есть точка не может лежать на границе двух треугольников). В этом разбиение рассмотрим все треугольники с вершиной D. Если таких треугольников несколько, то хотя бы один из них либо не содержит прямую BD, либо какая-нибудь из сторон этого треугольника лежит на прямой BD. Ни в одном из этих случаев в этом треугольнике не может быть отмеченных точек, что противоречит доказанному. Следовательно, такой треугольник если и может быть, то только один. Но тогда две его стороны лежат на отрезках AD и CD, а значит, этот треугольник содержится в треугольнике ACD, тем самым ни одна отмеченная точка не может лежать в нём. Получили противоречие. Тем самым доказали, что невозможно удовлетворяющее условию задачи разбиение квадрата на K треугольников.

Ответ

3, если k = 1, k + 1 треугольник, если k > 1.

 

 

37. Условие

а) Докажите, что при n>4 любой выпуклый n -угольник можно разрезать на n тупоугольных треугольников. б) Докажите, что при любом n существует выпуклый n -угольник, который нельзя разрезать меньше, чем на n тупоугольных треугольников. в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать прямоугольник?

Решение

а) При n > 4 у выпуклого n -угольника обязательно есть тупой угол. Диагональ, соединяющая две вершины, соседние с вершиной этого угла, разрезает n -угольник на тупоугольный треугольник и ( n - 1 )-угольник. Поэтому, если доказать утвердение задачи для n = 5 , то для остальных значений n оно выводится по индукции. Заметим, что любой треугольник можно разрезать на три тупоугольных треугольника. Действительно, высота, проведенная из наибольшего угла, лежит внутри треугольника. Взяв на этой высоте точку, достаточно близкую к основанию, и соединив ее с вершинами, получим требуемое разрезание. Отсюда следует, что четырехугольник, отличный от прямоугольника, можно разрезать на четыре тупоугольных треугольника. Рассмотрим теперь пятиугольник ABCDE. Пусть его угол A тупой. Если BCDE  — не прямоугольник, то проведя диагональ BE и разрезав BCDE на четыре тупоугольных треугольника, получим требуемое разрезание. Если же BCDE  — прямоугольник, то углы B и E пятиугольника тупые, т.е ACDE не может быть прямоугольником. Поэтому, проведя диагональ AC и разрезав на четыре треугольника ACDE , опять получим требуемое разрезание. б) Пусть выпуклый n -угольник разрезан на n-1 тупоугольных треугольников. Сумма их углов равна (n-1)π , а сумма углов n -угольника составляет (n-2)π . Поэтому сумма углов треугольников, которые не примыкают к вершинам n -угольника, равна π . Значит, среди них не более одного тупого. Поэтому к вершинам n -угольника примыкает не менее n - 2 тупых углов треугольников. К одной вершине выпуклого n -угольника не может примыкать изнутри более одного тупого угла. Значит, n - угольник имеет не менее n - 2 тупых углов. Но это верно не для всякого выпуклого n-угольника при любом n https://www.problems.ru/show_document.php?id=1669107" />3 . в) Очевидно, что, проведя диагональ и разрезав каждый из образовавшихся треугольников на три тупоугольных, получим разрезание прямоугольника на шесть тупоугольных треугольников. Докажем, что разрезать прямоугольник на меньшее число треугольников нельзя. Предположим, что прямоугольник разрезан на пять тупоугольных треугольников. Тогда, рассуждая, как в п.б), получаем, что сумма углов этих треугольников, не примыкающих к вершинам прямоугольника, равна 3π . Если все такие углы расположены в точках на сторонах прямоугольника, то таких точек три и в каждой из них находится не более одной вершины тупого угла. Поскольку в вершинах прямоугольника тупых углов нет, получаем противоречие. Если же некоторые вершины треугольников лежат внутри прямоугольника, то получаем одну внутреннюю точку, в которой сходится не более трех тупых углов, и одну точку на стороне, т.е. общее количество тупых углов не превышает четырех, и опять получаем противоречие. Аналогично доказывается, что прямоугольник нельзя разрезать на четыре тупоугольных треугольника.

 

 

38. Условие

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Решение

Заметим, что каждые два прямоугольника разбиения имеют параллельные стороны (можно считать, что горизонтальные и вертикальные). Поэтому количество сторон нашего многоугольника чётно (его горизонтальные и вертикальные стороны чередуются).

Лемма. Если 2k-угольник можно разбить на прямоугольники, то его можно разбить на не более чем  k – 1  прямоугольник.
Доказательство. Сумма углов многоугольника  S = (2k – 2)180°,  и все углы в нём равны 90° или 270°. Если все они по 90°, то это прямоугольник.
Пусть найдётся угол A в 270°. Продолжим одну из его сторон внутрь многоугольника до пересечения с контуром. Многоугольник разобьётся на две части, причём сумма внутренних углов частей не превосходит суммы внутренних углов многоугольника (продолжение стороны отрезает от угла A угол в 90°, который попадает в одну из частей, и угол в 180°, который лежит на стороне другой части, поэтому исчезает; в то же время дополнительно в этих частях могут возникнуть только два угла по 90° там, где продолжение стороны дошло до контура многоугольника).
Заметим, что общее количество углов в 270° уменьшилось. Если они еще остались, будем повторять операцию с частями. В конце мы получим n частей без углов 270°, то есть n прямоугольников с общей суммой углов   S = 360°n ≤ (2k – 2)180°,  откуда  n ≤ k – 1.

Из леммы следует, что в нашем многоугольнике число вершин больше 200, иначе его можно разбить на 99 прямоугольников. Разобьём его на m треугольников и рассмотрим сумму их углов:  S = 180°m.  Найдём теперь S, учитывая, что углы треугольников входят в состав углов многоугольника. Каждый угол многоугольника даёт вклад не менее 90° (из угла 270° может быть вычтено 180°, если его вершина лежит на стороне какого-нибудь треугольника), поэтому  S = 180°m > 200·90°,  откуда  m > 100,  что и требовалось.

Замечания

Оценка в задаче является точной: объединение клеток квадрата 100×100, кроме клеток, лежащих выше главной диагонали, даёт пример многоугольника, который главной диагональю разбивается на 101 треугольник.

 

 

39. Условие

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

Решение

Обозначим  n = 2010 : 3 = 670.  Назовём линией строку или столбец; пронумеруем строки сверху вниз, а столбцы – слева направо. Достаточно отметить клетки так, чтобы при любом k в левых k столбцах и в верхних k строках содержалось бы по kn отмеченных клеток.
Скажем, что уголок смотрит из i-й вертикали влево, если две его клетки находятся в i-й вертикали, а третья – левее. Аналогично определим "взгляд" в других трёх направлениях; каждый уголок, таким образом, смотрит в двух направлениях.
Отметим для начала в каждом уголке среднюю клетку. Теперь в каждом уголке можно либо оставить клетку на месте, либо сдвинуть её ровно в одном из двух направлений, в которые этот уголок смотрит. Выясним, сколько таких сдвигов надо сделать.
Наложим дополнительное условие: между каждыми двумя соседними линиями все сдвиги должны идти в одну сторону. Рассмотрим, скажем, два соседних столбца: k-й и (k + 1)-й. Предположим, что в левых k столбцах сейчас содержится  dk > nk  отмеченных клеток. Пусть в k-м столбце есть ak уголков, смотрящих вправо, а в (k+1)-м – bk уголков, смотрящих влево. Тогда в первых k столбцах находится  
(3kn – 2ak – bk)  целых уголков, и потому  dk = (3kn – 2ak – bk) + ak = kn + (ak – bk).  Значит, чтобы добиться нашей цели, надо сдвинуть  sk = (ak – bk) ≤ ak  отмеченных клеток из k-го столбца вправо. В этом случае выделим  sk = (ak – bk)  непересекающихся пар среди ak уголков, смотрящих из k-го столбца вправо, и потребуем, чтобы ровно в одном уголке из каждой пары клетка был сдвинута вправо. Аналогично если  dk < nk,  то мы выделим  sk = (bk – ak)  непересекающихся пар среди bk уголков, смотрящих из (k+1)-го столбца влево.
Проделав такую операцию с каждой парой соседних линий, мы получим некоторое количество выделенных пар уголков, в каждой из которых надо выбрать по уголку; при этом все выбранные уголки должны быть различными. Осталось показать, что это возможно.
Соединим два уголка, находящиеся в одной паре, ребром. Заметим, что каждый уголок лежит не более, чем в двух парах: по одной на два направления, в которых он смотрит. Значит, мы получим граф, в котором из каждой вершины выходит не более двух рёбер. Такой граф распадается на циклы и пути. В каждом цикле  U1U2 – ... – UnU1  в паре  (Ui, Ui+1)  выберем уголок Ui, а в паре  (Un, U1)  – уголок Un. Аналогичную операцию проделаем с путём. Очевидно, что все условия выполнены.

 

 

40. Условие

Имеется много красных, жёлтых и зелёных кубиков 1×1×1. Можно ли сложить из них куб 3×3×3 так, чтобы в каждом блоке 3×1×1 присутствовали все три цвета?

Ответ

Можно, см. ответ задачи 4 для 6 класса.

 

 

41. Условие

Существуют ли несколько невыпуклых многоугольников, из которых можно составить выпуклый?

Подсказка

Рассуждайте с конца - разрежьте выпуклый на невыпуклые.

Решение

Достаточно какой-нибудь выпуклый многоугольник (скажем, прямоугольник) разрезать ломаной на два невыпуклых многоугольника.

Ответ

Конечно, существуют.

 

 

42. Условие

Разбейте куб на три пирамиды.

Подсказка

Три вершины пирамиды должны совпадать с одной из вершин куба.

Решение

Возьмем в кубе три грани Г1, Г2, Г3, имеющие общую вершину. Обозначим через A вершину куба, не принадлежащую этим трем граням. Рассмотрим три четырехугольные пирамиды с вершиной A и основаниями Г1, Г2, Г3. Эти пирамиды и образуют нужное разбиение куба.

 

 

43.Условие

Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.

Решение

Пусть длина стороны исходного квадрата равна x, а сторона квадрата разбиения, отличная от 1, равна y. Квадрат со стороной y не может прилегать ко всем сторонам исходного квадрата, поэтому x, а, значит, и y, – натуральные числа. Имеем:  x² – y² = 24.  Поскольку  x² – y² = (x + y)(x – y)  и числа  x + y  и  x – y  одной чётности, то < x + y = 6,  x – y = 4  либо  x + y = 12,  x – y = 2.  В первом случае  x = 5,  y = 1,  что не удовлетворяет условию  y ≠ 1.  Во втором –  x = 7,  y = 5.  Так что площадь исходного квадрата равна 49.

Ответ

49.

 

 

44. Условие

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

Решение

Задача сводится к решению в натуральных числах, бóльших 1, уравнения  x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²) = 98.
Очевидно, второй множитель больше первого. Кроме того,  x – y  не делится на 3, поэтому  x² + xy + y² = (x – y)² + 3xy ≡ 1 (mod 3).  Единственное разложение числа 98, удовлетворяющее этим условиям – это 2·49. Поэтому  x² + xy + y² = 49,  x – y = 2,  xy = 15.  Отсюда  x = 5,  y = 3.

Ответ

125.

 

 

45. Условие

Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нём точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдаёт меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?

Решение

Малыш проводит разрез через выбранную Карлсоном точку K и центр O торта (если Карлсон выбрал O, проводит любой возможный разрез). Прямая l, проведённая через O перпендикулярно KO, вместе с прямой KO делят торт на четыре одинаковых куска. Оба куска, которые может отсечь Карлсон (отрезком, параллельным l), не меньше этих четвертинок.

Ответ

Не может.

 

 

46. Условие

Куб разбит двумя способами на тетраэдры с вершинами в вершинах данного куба.
Верно ли, что в обоих случаях количество тетраэдров одно и то же?

Подсказка

Укажите разбиения на 5 и на 6 тетраэдров.

Решение

Имеются разбиения на 5 и на 6 тетраэдров.
Первый способ. Отрежем от куба ABCDA'B'C'D' четыре тетраэдра A'ABD, C'CBD, BB'A'C', DD'A'C'. После этого останется ещё один тетраэдр ACB'D'.
Второй способ. Разобьём вначале куб на три четырёхугольных пирамиды с вершиной D', основанием каждой из которых является одна из трёх граней куба, содержащих точку B. Затем каждую их этих четырёхугольных пирамид разобьём на два тетраэдра. Всего получится 6 тетраэдров.

Ответ

Неверно.

 

 

47. Условие

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

Решение

Все стороны 2002-угольника являются сторонами треугольников. В один треугольник может попасть не более двух сторон многоугольника. Поэтому треугольников, в которые попали стороны 2002-угольника, не меньше чем  2002 : 2 = 1001,  что больше половины.

Ответ

Не могло.

 

 

48. Условие

Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.
Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.

Решение

Пусть треугольник ABC с наибольшим углом C разрезан на три подобных отрезками AX, BX, CX. Так как  AXB > ACB,  углу AXB в других треугольниках могут равняться только углы AXC и BXC. Значит,  AXB = AXC = BXC = 120°.  Но тогда  AX = BX = CX  и треугольник ABC – правильный.
Пусть теперь треугольник разрезали сначала прямой, проходящей через вершину, на два, а затем один из этих двух еще на два. Так как два последних треугольника подобны, они прямоугольные, то есть при первом разрезе от исходного треугольника отрезали прямоугольный, а затем оставшийся треугольник разделили на два высотой. Перебрав все варианты, нетрудно убедиться, что исходный треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. И в том, и в другом случае его можно разрезать на любое число подобных.

 

 

49. Условие

Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

Решение

Рассмотрим треугольник, наименьший (по площади) среди треугольников с вершинами трёх разных цветов. Внутри него нет окрашенных точек (если бы такая была, то, соединив её с вершинами двух других цветов, мы получили бы меньший треугольник). Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 3-го цветов.
Теперь рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершину 4-го цвета. Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 4-го цветов. Внутри него не может быть точек этих трёх цветов. Но и точки 3-го цвета быть не может: соединив её с вершинами 1-го и 4-го цветов, мы бы получили меньший по площади треугольник с вершиной 4-го цвета.
Наконец рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершины 3-го и 4-го цветов. Аналогично показываем, что и внутри него нет окрашенных точек.

 

 

50. Условие

По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

Решение

Примем некоторую точку окружности за начало отсчёта. Пусть ai - длина дуги от начала отсчёта до i-й вишенки по часовой стрелке. Рассмотрим числа bi=ai-i. Из условия следует, что |bm-bk|<1 для любых m, k (достаточно рассмотреть две дуги, на которые m-я и k-я вишенки разбивают периметр торта). Пусть bs - наименьшее из них, тогда 0<bi-bs<1 для любого i. Отсюда следует, что найдётся такое x, что x<bi<x+1 для всех i. Очевидно, что разрез по радиусам, проведённым в точки с координатами x, x+1, ..., x+n-1, - искомый.

Калькулятор расчета монолитного плитного фундамента тут obystroy.com
Как снять комнату в коммунальной квартире здесь
Дренажная система водоотвода вокруг фундамента - stroidom-shop.ru

Поиск

 

ФИЗИКА

 

Блок "Поделиться"

 
 
Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru

Copyright © 2021 High School Rights Reserved.